Question

已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)^2(x属于R）有极大值32 1、求函数的单调区间2、求实数a

Answer 1

解：f(x)=ax(x-2)^2=ax^3-4ax^2+4ax
f'(x)=3ax^2-8ax+4a=3a(x-2/3)(x-2)
讨论:(1)a>0,
∵x∈(-∞，2/3）,f'(x)>0,x∈(2/3，2）,f'(x)<0,x∈(2,+∞）,f'(x)>0,
∴f(x)在x=2/3处取得极大值32，即f(2/3)=32,解得a=27,
(2)a<0
∵x∈(-∞，2/3）,f'(x)<0,x∈(2/3，2）,f'(x)>0,x∈(2,+∞）,f'(x)<0
∴f(x)在x=2处取得极大值32，即f(2)=32,无解.
综上:a=27
函数的单调区间:增区间(-∞，2/3）和(2,+∞）.
减区间(2/3，2）.