Question

已知实数a≠0，函数f（x）=ax(x-2)^2(x属于R)有极大值32，求a的值？

Answer 1

f(x)=ax(x-2)^2=ax^3-4ax^2+4ax
f'(x)=3ax^2-8ax+4a=3a(x-2/3)(x-2)
(1)a>0,
∵x∈(-∞，2/3）,f'(x)>0,x∈(2/3，2）
f'(x)<0,x∈(2,+∞）,f'(x)>0,
∴f(x)在x=2/3处取得极大值32，即f(2/3)=32,解得a=27

Answer 2

将f(x)求导得f'(x)=a(x-2)^2+2ax(x-2)=a(x-2)(3x-2),令f'(x)=0,的x=2或x=2/3
1、当a>0时，则x=2/3为极大值，f（2/3)=32,即a*(2/3)*(16/9)=32,得a=27
2、当a<0时，则x=2为极大值，f（2）=32，即0=32显然不成立
综上：a=27