Question

已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2） 2 （x∈R）有极大值32．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调

已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2） 2 （x∈R）有极大值32．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax（x-2） 2 =ax 3 -4ax 2 +4ax， ∴f′（x）=3ax 2 -8ax+4a． 由f′（x）=0，得3ax 2 -8ax+4a=0． ∵a≠0，∴3x 2 -8x+4=0． 解得x=2或x= 2 3 ． ∵a＞0，∴x＜ 2 3 或x＞2时，f′（x）＞0； 2 3 ＜x＜2时，f′（x）＜0． ∴当x= 2 3 时，f（x）有极大值32，即 8 27 a- 16 9 a+a=32，∴a=27． （2）∵x＜ 2 3 或x＞2时，f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增 当 2 3 ＜x＜2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）单调递减 f（x）在（-∞， 2 3 ）和（2，+∞）上是增函数，在（ 2 3 ，2）上是减函数．