Question

已知f（x）=ax+（1-x）/ax，其中a〉0，讨论f（x）在（0，正无穷）上的单调性

求过程，谢谢
答案我也有，我要过程= =

Answer 1

已知f（x）=ax+（1-x）/ax，其中a〉0，讨论f（x）在（0，正无穷）上的单调性

f（x）=ax+（1-x）/ax
f(x)=(ax)+1/(ax)-(1/a)
我用证明的方法吧！你可能不是高二学生，不会导数。
设m<n
f(m)-f(n)
=am+1/(am)-an-1/(an)
=a(m-n)-(m-n)/(amn)
=(m-n)[a-1/(amn)]

当m,n∈(0,1/a)时
m－n<0
amn<1/a
1/(amn)>a
a-1/(amn)<0
f(m)-f(n)=(m-n)[a-1/(amn)]>0
m<n
f(m)>f(n)
所以在x∈(0,1/a)时
f(x)是减函数

当m,n∈(1/a ,+∞)时
m－n<0
amn>1/a
1/(amn)<a
a-1/(amn)>0
f(m)-f(n)=(m-n)[a-1/(amn)]<0
m<n
f(m)<f(n)
所以在x∈(1/a ,+∞)时
f(x)是增函数

综上所述
x∈(0,1/a)
f(x)是减函数
x∈(1/a ,+∞)
f(x)是增函数

Answer 2

(0 1/根号a）单调减
其它单调增

Answer 3

f=ax+1/ax-1/a.
因为ax>0
所以,当ax=1/ax,即x=a时,有ax+1/ax最小值2a
(0,a)递减.(a,正无穷)递增

用导数也能求解

Answer 4

f(x)=ax+(1-x)/ax=ax+(1/ax)-(1/a) a>0, x∈(0. +∞). 对x取导数得:
f′(x)=a-(1/ax²)=[(ax)²-1]/ax²=(ax+1)(ax-1)/ax²
∵a>0, x>0, ∴f′(x)的符号取决于因子(ax-1)的符号.
当ax-1<0, 即x<1/a 时,f′(x)<0, 即在0<x<1/a 时, f(x)是减函数.
当ax-1>0, 即 x>1/a时, f′(x)>0, 即在 1/a<x<+∞时,f(x)是增函数.
当ax-1=0, 即x=1/a时, f′(x)=0,即在x=1/a时,函数f(x)有极小值,
minf(x)=f(1/a)=a(1/a)+[1-(1/a)]/a(1/a)=1+1-1/a=2-(1/a).

Answer 5

f(x)=ax+1/ax-1/a

所以f'(x)=a-1/ax^2=(a^2x^2-1)/ax^2

所以，当(a^2x^2-1)〉0时,f(x)增；当(a^2x^2-1)〈0时,f(x)减。

即在（1/a,正无穷）上f(x)增

在（0，1/a）上f(x)减。

Answer 6

f(x)=ax+(1-x)/(ax)=(a²x²-x+1)/(ax)
求该函数的导数
f'(x)=[(2a²x-1)ax-a(a²x²-x+1)]/(ax)²=(a³x²-a)/(a²x²)
令f'(x)>0，因为a²x²>0，则有
a³x²-a>0
a(a²x²-1)>0
a(ax+1)(ax-1)>0
因为a>0，两边除以a
(ax+1)(ax-1)>0
因为ax+1>0，所以ax-1>0，x>1/a，即当x>1/a时，f'(x)>0
所以函数f(x)在区间(1/a，正无穷)上单调递增，相应地在区间(0,1/a)上单调递减