Question

一数学高考题：2013年福建，10 请解释D项为何不正确

Answer 1

你想知道为什么不存在，我们就证明一下，
假设存在，那么这是一个从整数到有理数的保序同构，首先我们清楚一点，就是这个映射是一一映射。
T={f(x) | x是整数}
若T为有理数集合Q，那么每个有理数必须有原像。
那么我们不妨设
整数0在f下的像是有理数a，

整数1在f下的像是有理数b，
由于保序，0<1，所以a<b
那么(a+b)/2是个有理数，但是没有原像，因为0和1之间没有整数。

Answer 2

前三个选项都能找到这样一个函数，D选项找不出来。每两个有理数之间都会有其它的有理数，无论怎么构造f(x)这个函数，两个相邻的整数x1 x2对应的有理数f(x1) f(x2)之间总会有其它有理数f(x0)没有x0在Z中来对应。
A：f(x) = x+1
B：f(x) = { -8 x=-1
5/2(x-1) -1<x<=3 }
C：f(x) = tan(pi(x-1/2))