Question

设函数f(x)=|x+1/x|,x≠0 或f（x）=0, x=0；g(x)=[f(x)]^2+bf

设函数f(x)=|x+1/x|,x≠0 或f（x）=0, x=0；g(x)=[f(x)]^2+bf(x)+c,如果函数g(x)有5个不同的
5个不同零点，求b的范围。跪谢！

Answer 1

令u=f(x),将g(u)看做二次函数，则g(u)顶多有2个不同的零点，也即有两个不同的u1、u2；
令u1=|x+1/x|，可得顶多两个不同的x值(显然x不等于0)，同理，u2也可得顶多两个不同的x值。此时相当于有4个不同的x值使得函数g(x)=0.

为了得到第5个零点，只能将x=0代入g(x)并令g(0)=0;则可得到c=0
则g(x)=[f(x)]^2+bf(x)；此函数=0要有两个解，且解不能为0，需b不等以0；此时解为f(x)=-b
即|x+1/x|=-b

当x+1/x>0时有x+1/x+b=0，即x^2+bx+1=0,此函数需有2个不同的解。需要b^2-4>0,得b>2(舍去)或b<-2
当x+1/x<0时有x+1/x-b=0，即x^2-bx+1=0,此函数需有2个不同的解。需要b^2-4>0,得b>2(舍去)或b<-2
综上所述，b<-2

Answer 2

f(x)={|x|+1/|x| (x≠0)
{0 (x=0)
当x=0时，f(x)=0 ==>g(x)=0,这是一个零点；还有四个零点，由于f(x)是偶函数，所以
g(x)也是偶函数，所以当x>0时函数g(x)必须有两个零点，
偶函数的零点是关于y轴对称的 ；这样就有5个零点了；
而f(x)=|x|+(1/|x|)≥2
令t=f(x),则g(x)函数可化为：
y=t^2+bt+c t∈[2,+∞)抛物线在[2,+∞)上有两个根的充要条件是；
{y(2)≥0
{对称轴 (-b)/2<2
{b^2-4c>0
......................................
{4+2b+c≥0
{b>-4
{b^2>4c
而c≥-4-2b代入到b^2>4c得：
b^2>4(-4-2b)
b^2+8b+16>0且b>-4
{(b+4)^2>0
{b>-4
所以，b>-4