Question

设f(x)=x|2x-a|,g(x)=(x^2-a)/(x-1),a>0.

设f(x)=x|2x-a|,g(x)=(x^2-a)/(x-1),a>0.(1)当a=8时,求f(x)在[3,5]的值域（2）若任意t属于[3,5]存在xi属于[3,5]（i=1,2）,且x1不等于x2，使f(xi)=g(t)，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)f(x)=x|2x-8|={2x^2-8x=2(x-2)^2-8,4<=x<=5,
{-2x^2+8x=-2(x-2)^2+8,3<=x<4.
第一段函数的值域是[0,10],
第二段函数的值域是(0,6],
∴f(x)在[3,5]上的值域是[0,10].
(2)g(x)=(x^2-a)/(x-1)=x+1+(1-a)/(x-1),a>0,x∈[3,5],
g'(x)=1-(1-a)/(x-1)^2=[(x-1)^2-(1-a)]/(x-1)^2,
g'(x)>0,g(x)是增函数，g(x)的值域是[(9-a)/2,(25-a)/4].
依题意f(x)∈[(9-a)/2,(25-a)/4]时在[3,5]中有2个原像，
∴a/2∈(3,5),
f(x)={2x^2-ax=2(x-a/4)^2-a^2/8,a/2<=x<=5;
{-2x^2+ax=-2(x-a/4)^2+a^2/8,3<=x<a/2.
第一段函数的值域是[0,50-5a],
第二段函数的值域是(0,3a-18].
∴(9-a)/2>0,且(25-a)/4<=min{50-5a,3a-18},
解得a<9,97/13<=a<=175/19,
∴97/13<=a<9,为所求.