Question

设f(x)=3^x,且f(a+2)=18,g(x)=3^ax-4^x(x∈R).

（1）求g（x）的解析式
（2）判断函数g（x）在[0,1]上的单调性并用定义证明
（3）若方程g（x）-b=0在[-2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围

O(∩_∩)O谢谢！

Answer 1

解：(1) 令t=a+2 即f(t)=3^t=18 且 a=t-2
g(x)=3^ax-4^x
=3^(t-2)x-4^x
=(3^tx) / (3^2x)-4^x
=((3^t)^x) / (3^2x)-4^x
=18^x / 9^x-4^x
=2^x-4^x
所以g(x)=2^x-4^x
(2) 令t（x）=2^x,则 t(x)在[0,1]上单调递增,范围是[1,2]
g(x)=2^x-4^x=t（x）- (t（x）)^2 =t(x)*(1-t(x))
简化一下，g(t)=t-t^2 ， t∈[1,2]
这个是抛物线，开口向下，对称轴是直线 t=1/2
在 t∈[1,2] 区间是单调递减的，
综合t(x)在 X∈[[0,1]上单调递增，可以知道，
g(x)在X∈[[0,1] 上单调递减

（3） 直接利用（2）中 简化的结果，g(x)-b=t-t^2-b =-(t-1/2)^2-b+1/4
x∈[-2,2] 即t=2^x∈[1/4,4]有两个不同的解
故有：
-(1/4-1/2）^2-b+1/4<=0
-(4-1/2) ^2-b+1/4<=0
2个不等式同时成立，可得b的范围是：b>=3/16

PS : 本人10多年没做过这些题目了，可能计算的答案不太对了，以上请参考