Question

已知f(x)是R上的增函数，令F(x)=f(1-x)-f(3+x)，则F(x)在R上是什么函数？

Answer 1

解：在F(x）的定义域上取x1>x2;则F(x1)-F(x2)=
f(1-x1)-f(3+x1)-[f(1-x2)-f(3+x2)]=f(1-x1)-f(1-x2)+f(3+x2)-f(3+x1).
因为已知 f(x)是R上增函数且3+x2<3+x1,1-x1<1-x2(因取x1>x2）
所以f(1-x1)-f(1-x2)<0且f(3+x2)-f(3+x1)<0
所以F(x1)-F(x2)=f(1-x1)-f(1-x2)+f(3+x2)-f(3+x1)<0
即F(x)是R上的递减函数

Answer 2

fX是增函数
则F（1-X） 当X增大时， 1-X逐渐减小
所以 f(1-X)是减函数
则F(X)=f(1-x)+3 是一个减函数
希望能对您有帮助！！

Answer 3

令x2＞x1，则f（x2）＞f（x1）
F（x2）-F（x1）=f(1-x2)-f(3+x2)- f(1-x1)+f(3+x1)
=f(1-x2)- f(1-x1)+f(3+x1)- f(3+x2)
x2＞x1→1-x2＜1-x1→f(1-x2)＜ f(1-x1)→f(1-x2)- f(1-x1)＜0
x2＞x1→3+x2＞3+x1→f(3+x1)- f(3+x2)＜0
故F（x2）-F（x1）＜0→F（x2）＜F（x1） 为减函数

Answer 4

f(x)是R上的增函数，则其导数f '(x)＞0，
对F(x)求导，得F ' (x)=f '(1-x)-f '(3+x)＝－f '(x)－f '(x)＝-2f '(x)＜0
故F(x)是减函数

Answer 5

由题目可知：f(X)是R上的递增函数，则f(1-x)是R上的递减函数，f(3+x)是R上的递增函数，
两者相减，很容易就知道是R上的递减函数啊。

Answer 6