Question

如图，抛物线y=-x^2+2x+3与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C

(1)直接写出A，B，C三点的坐标和直线BC的函数表达式
(2)点P为线段BC上的一个动点，过P作PF//y轴交抛物线于点F，求线段PF的最大长度是多少

Answer 1

解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
抛物线的对称轴是：直线x=1．

（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：

3k+b=0
b=3

解得：k=-1，b=3．
所以直线BC的函数关系式为：y=-x+3．
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
当x=m时，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x2+2x+3中，当x=1时，y=4．
∴D（1，4）
当x=m时，y=-m2+2m+3，
∴F（m，-m2+2m+3）
∴线段DE=4-2=2，
线段PF=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m
∵PF∥DE，
∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．
由-m2+3m=2，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得：OB=OM+MB=3．
∵S=S△BPF+S△CPF
即S=0.5PF•BM+0.5PF•OM=0.5PF•（BM+OM）=0.5PF•OB．
∴S=0.5×3（-m2+3m）=-1.5m2+4.5m（0≤m≤3）．

追问

求线段PF的最大长度是多少

Answer 2

令-x^2+2x+3=0，得x=-1,3.
所以A、B两点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）.
令x=0,得C点的坐标为（3，0）.
根据直线的截距式方程，可得BC的方程为x+y-3=0.
设P点的横坐标为a，则其纵坐标为3-a .且a大于等于0，小于等于3.
由PF平行y轴，可知F点的横坐标也为a，则其纵坐标为-a^2+2a+3.
所以PF=（-a^2+2a+3）-（3-a）=-a^2+2a。
可得a=3/2时，其最大值为9/4.