Question

已知二次函数y=x2-(m2+8)+2(m2+6)。（1）设这个函数图像与x轴交于B,C两点，与y轴交于点A，若△ABC的面积

求M的值（2）设抛物线的顶点为P，是否存在实数M，使△PBC为等腰直角三角线

Answer 1

解：
由函数与X轴交于B、C两点得
判别式△>0,
[-(m²+8)]²-4*2(m²+6)>0
得(m²+4)>0,
m为任意实数R。
由已知得|BC|*|AO|*1/2=48··········(1)
当x=0时，函数与y轴线交点坐标为(0,2(m²+6))
则得|AO|=2(m²+6)··········(2)；
令B、C两点坐标分别为(x1,0)、(x2,0)
则得|BC|=|x2-x1|,
由根与系数的关系得
x1+x2=m²+8,
x1*x2=2(m²+6)
对|BC|=|x2-x1|两边平方得
|BC|²=|x2-x1|²
=(x2-x1)²
=x2²+x1²-2x1*x2
=(x1+x2)²-4x1*x2············(3)
将x1+x2=m²+8,x1*x2=2(m²+6)代入(3)式得
|BC|²=(m²+8)²-4*2(m²+6)
=m²+4···········(4)
将以上(2)与(4)式代入(1)式，得
(m²+4)*2(m²+6)*1/2=48
(m²+4)*(m²+6)=48
m^4+10m²-24=0
(m²-2)(m²+12)=0
解得
m²=2，m²=-12(舍去)
即得m=±√2。