如图,点A,B,C三点在圆O上,AD是圆O的直径,DE垂直BC于E,AF垂直BC于F,求证BE=CF
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延长AF交⊙O于G。
∵AD是⊙O的直径，
∴AG⊥DG，又AG⊥BC，∴DG∥BC，∴BD＝CG。
∵AD是⊙O的直径，
∴AB⊥BD，
∴∠ABC＋∠DBE＝90°。
∵CF⊥GF，
∴∠CGF＋∠GCF＝90°。
∵A、B、D、C共圆，∴∠ABC＝∠CGF。
由∠ABC＋∠DBE＝90°、∠CGF＋∠GCF＝90°、∠ABC＝∠CGF，∴∠DBE＝∠GCF。
由∠DBE＝∠GCF、∠BEG＝∠GFC＝90°、BD＝CG，∴△DBE≌△GCF，∴BE＝CF。
∵AD是⊙O的直径，
∴AG⊥DG，又AG⊥BC，∴DG∥BC，∴BD＝CG。
∵AD是⊙O的直径，
∴AB⊥BD，
∴∠ABC＋∠DBE＝90°。
∵CF⊥GF，
∴∠CGF＋∠GCF＝90°。
∵A、B、D、C共圆，∴∠ABC＝∠CGF。
由∠ABC＋∠DBE＝90°、∠CGF＋∠GCF＝90°、∠ABC＝∠CGF，∴∠DBE＝∠GCF。
由∠DBE＝∠GCF、∠BEG＝∠GFC＝90°、BD＝CG，∴△DBE≌△GCF，∴BE＝CF。
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