Question

如图，M、P分别是三角形ABC的边AB、BC上的点，在AC上求作一点N，使三角形PMN的周长最小，

如图，M、P分别是三角形ABC的边AB、BC上的点，在AC上求作一点N，使三角形PMN的周长最小，并说明你这样作的理由。

Answer 1

过P点作关于直线AC对称的点Q，连接PQ和MP，MP交AC于N，连接NP与MP。PQ与直线AC交于点O
因为Q与P关于直线AC对称，则AC为PQ的垂直平分线，所以PN等于PQ，周长等于MN+NP+MP=MP+MQ，两点之间线段最短，所以周长最小

Answer 2

过P做P点关于AC 的对称点P′,连接MP′,交AC于N.则三角形PMN周长最小。因为P与P′对称，所以PN=P′N所以MN+NP=MN+P′N=MP′,根据两点之间线段最短，所以MN+NP值最小，MP为定值，所以周长MP+MN+NP最小