Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B，AB=2，与x轴交于点C，对称轴为直线

x=2
（1）求抛物线解析式
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值

Answer 1

解：（1）如图，∵AB=2，对称轴为直线x=2．
∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．
∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，
∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根．
由韦达定理，得
1+3=-b，1×3=c，
∴b=-4，c=3，
∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3；

（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．
由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3，A（1，0），B（3，0），
∴C（0，3），
∴BC=根号 3^2+3^2 =3 根号2 ，AC= 根号3^2+1^2 =根号 10 ．
∵点A、B关于对称轴x=2对称，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC．
此时，PB+PC=BC．
∴点P在对称轴上运动时，（PA+PB）的最小值等于BC．
∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3根号 2 +根号 10 ；