Question

已知函数f(x)=㏑x-a(x-1) 当x≥1,f(x)≦㏑x/x+1恒成立，求a范围

Answer 1

x=1时不等式自然成立， x>1时
要求 lnX - a(X-1) <= lnX / X + 1
稍微整理可得 a(X^2-X)>= XlnX - lnX - X
即要求 a>= (XlnX - lnX - X) / (X^2-X) 对所有 X > 1成立
即要求 a>= max( (XlnX - lnX - X) / (X^2-X) ) , ( X > 1 )
后面这个最大值比较难求，我用数值模拟了一下大概在x= 9.48418 时取到， 为 0.119331

Answer 2

lnx/x+1=lnx+1-1/x+1=1-1/x+1所以lnx/x+1是递增函数x=1时有最小值ln1/2
f(x)≦㏑x/x+1
所以f(x)≦ln1/2
㏑x-a(x-1)≦ln1/2
请问你的-a(x-1）在ln里还是外面？
㏑x-a(x-1)≦ln1/2
-a（x-1）≦ln1/2-lnx
a（x-1）≥lnx-ln1/2
a≥（ln2x）/x-1

追问

是在㏑外部