Question

如图，AB为圆O的弦，OC垂直OA，AB交OC于C，过B的直线交OC的延长线于D，当CD=BD时，

如图，AB为圆O的弦，OC垂直OA，AB交OC于C，过B的直线交OC的延长线于D，当CD=BD时，直线BD与圆O有怎样的位置关系？并给予证明。

Answer 1

证明：（如图）

∵CD=BD

∴∠1 =∠DBC（在三角形中等边对等角）

而∠2 =∠1

∴∠2 =∠DBC

∵OA=OB

∴∠3=∠4

∵OC⊥OA

∴∠2＋∠4=90°

∴∠DBC＋∠3=90°          即BD⊥OB

∴BD是⊙O的切线（经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）

Answer 2

答：连接OB
因为：OC垂直OA
所以：角OAC+角OCA=90°
因为：OA=OB

所以：角OAC=角OBC
所以：角OBC+角OCA=90°
因为：角角OCA=角DCB
所以：角OBC+角DCB=90°
因为：CD=BD
所以：角DCB=角DBC
所以：角OBC+角DBC=90°
所以：OB垂直于BD
所以：BD与圆O相切

Answer 3

证明：连接OB
∵CD=BD
∴△DCB是等腰三角形
∴∠DCB=∠DBC=∠OCA
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵OC⊥OA
∴∠OAB+∠OCA=90°
∴∠OBC+∠DBC=90°，即OB⊥BD
∴BD是圆O的切线