Question

是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x^2+（3a-2）x+a-1在区间[-1,3]上恒有一个零

是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x^2+（3a-2）x+a-1在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一个零点.若存在,求出范围；若不存在,说明理由.

f(-1)=1-3a+2+a-1=2-2a=2(1-a)
f(3)=9+9a-6+a-1=2+10a=1(1+5a)
若f(-1)f(3)<0, 则(-1,3)上有且只有一个根
此时a>1 或a<-1/5
再考虑端点a=1时，f(x)=x^2+x=x(x+1),有2根0, -1,不符
a=-1/5时，f(x)=x^2-13x/5-6/5=(x-3)(x+2/5)，有2根3， -2/5不符
所以存在这样的实数a，其范围是a>1或a<=-1/5 求第二种方法 跪求

Answer 1

用分离参数的方法。
x^2+（3a-2）x+a-1=0等价于：（3x+1)a=2x+1-x^2
等价于a=(2x+1-x^2)/(3x+1)
x^2+（3a-2）x+a-1=0在区间[-1,3]上有一个零点，等价于方程a=(2x+1-x^2)/(3x+1)在区间[-1,3]上有一个根。等价于y=a与y=(2x+1-x^2)/(3x+1)区间[-1,3]上有一个交点。用导数的方法作出y=(2x+1-x^2)/(3x+1)在区间[-1,3]上的图像，平移直线y=a，使得直线y=a与上诉图像有一个交点，进而求出a的范围

追问

a=（-x2+2x+1）/3x+1右边的图像怎么画 我求导得到的是（3x2+2x+1）/（3x+1）2 这个恒大于0 可是为什么把-1带入得1 把3带入得-1/5 呢