Question

问题补充：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－3/4x－12分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x

问题补充：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－3/4x－12分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴上，且△ABC∽△AOB．
求点C的坐标；
（2）若点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向B运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CA向A运动，连结PQ．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)y=(-3/4)x-12与X轴交于A(-16,0),与Y轴交于B(0,-12),则:OA=16,OB=12.
∴AB=√(OA²+OB²)=20.
∵⊿ABC∽⊿AOB.
∴AB/AO=AC/AB,即20/16=AC/20,AC=25.
则CO=AC-AO=25-16=9,点C为(9,0).
(2)运动时间为t秒时,AP=t,AQ=25-t;sin∠PAQ=sin∠BAO=OB/AB=3/5.
∴S=(1/2)AP•AQ•sin∠PAQ=(1/2)t•(25-t)•(3/5)=(-3/10)t²+(15/2)t.
其中t的范围是：0≤t≤20.
(3)该问应该分两种情况：
①当PQ∥BC时,⊿APQ∽⊿ABC,AP/AB=AQ/AC,t/20=(25-t)/25, t=100/9;
②当PQ⊥AC时,⊿AQP∽⊿ABC,AP/AC=AQ/AB,t/25=(25-t)/20,t=125/9.
所以，当t=100/9秒或125/9秒时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似。