Question

求y=x+根号下x(2-x) 的值域

如题 谢谢

Answer 1

y=x+√[x(2-x)]
定义域为x(2-x)≤0 ===> x(x-2)≤0 ===> 0≤x≤2
原式===> y-x=√[x(2-x)]

===> (y-x)^2=x(2-x)=2x-x^2
===> y^2-2yx+x^2-2x+x^2=0
===> 2x^2-2(y+1)x+y^2=0
由△=4(y+1)^2-8y^2≥0 ===> (y+1)^2-2y^2≥0
===> y^2+2y+1-2y^2≥0
===> y^2-2y-1≤0
===> (2-2√2)/2≤y≤(2+2√2)/2
===> 1-√2≤y≤1+√2
而0≤x≤2时，x≥0，√[x(2-x)]≥0
所以，y≥0
综上：y∈[0,1+√2]

Answer 2

√x(2-x)的定义域为:
0≤x≤2
y=x+√[1-(x-1)^2
令x-1=cosa
0≤a≤π
y=(1+cosa)+sina
=sina+cosa+1
=√2sin(a+π/4)+1
π/4≤a+π/4≤5π/4
-√2/2≤sin(a+π/4)≤1
-1≤√2sin(a+π/4)≤√2
0≤√2sin(a+π/4)+1≤√2+1
即，
0≤y≤√2+1
所以原函数的值域为:
[0,√2+1]

Answer 3

追问

我也有这个 这个文档错误有点多
这个看不懂 解释下ymin=0 y=1+根号2 之后x1 x2怎么来的呗？

追答

首先(x-y)²=x(2-x) 整理得到2x²-2(y+1)x+y²=0 △=4(y+1)²-8y²≥0 y∈[1-√2,1+√2]又X∈[0,2]∴y＞0∴y∈(0,1+√2]

Answer 4

解：

追答

y=x+√x(2-x)
2x²-2(1+y)x+y²=0
△=4(1+y)²-8y²≥0
y²-2y-1≤0
1-√2≤y≤1+√2

x(2-x)≥0
0≤x≤2
y∈[0，1+√2]