Question

如图，在Rt三角形ABC中，角BAC=90度

如图，在Rt三角形ABC中，角BAC=90度，AB=AC，P为BC延长线上任意一点，过B、C两点分别作直线AP的垂线BE、CF，E、F分别为垂足.（1）求证：BE+CF=EF（2）若P为线段BC上的任一点，其他条件不变，试问：线段BE、CF、EF的长度之间是否存在某种确定的数量关系？请画出图形，并证明你的结论。

Answer 1

图形请你自己画吧
证明： （1） 由过B、C两点分别作直线AP的垂线BE、CF，E、F分别为垂足可知：∠BEA＝∠AFC＝90°
∵ ∠BAC＝90°
∴ ∠CAF+∠EAB ＝180°－∠BAC ＝180°－90°＝90°
又在直角三角形AEB中 ∠EBA+∠EAB＝180°－∠BEA＝90°
∴ ∠CAF＝∠EBA
在△EBA 和 △ACF中，AB＝AC（已知），∠BEA＝∠AFC＝90°，∠CAF＝∠EBA
∴ △EBA ≌ △ACF
　　　　　　∴　BE = AF，EA＝CF
∴ BE+CF＝EA+AF ＝EF
（2） 若P点靠近B点，有CF－BE＝EF；若P点靠近C点，有BE－CF＝EF
现证明如下：由过B、C两点分别作直线AP的垂线BE、CF，E、F分别为垂足知，∠BEA＝∠AFC＝90°
∵ ∠BAC＝90°
. ∴ ∠BAE + ∠FAC＝90°
又 在直角三角形ABE中，∠EBA+∠BAE＝90°
∴ ∠EBA ＝ ∠FAC
在△EBA和△AFC中，AB＝AC，∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA ＝ ∠FAC
∴ △EBA　≌　△AFC
　　　　　∴ AE＝CF，AF＝BE
∴ CF－BE ＝ AE －AF =　EF　　
同理可证　BE－CF＝EF