Question

函数极限的定义

对于自变量趋于无穷的函数，若在正无穷与负无穷上极限不相同，那么还能不能说这个函数在自变量趋于无穷时有极限啊？

Answer 1

举个具体例子？ 趋于无穷时有极限 应该可以包括趋于正无穷和负无穷都有极限 。

追问

我是问，笼统的说函数自变量的绝对值趋于无穷大时函数值趋于一个值是不是不太全面，不应该讨论趋于正无穷与趋于负无穷的不同情况吗？要是在这两种情况下极值不同，那还叫此函数有极限吗？

追答

绝对值趋于无穷大 只有一种情况 那就是正无穷 你把自变量的绝对值看做一个整体

追问

书上说“自变量的绝对值趋于无穷大时函数值趋于一个值”，但是我想问，要是自变量趋于在正负无穷时，函数值分别趋于不同值，那这个函数不就两个极限了吗？这样理解对不

追答

是啊 怎么了

追问

高数书上说的函数极值只有一个，书上的意思是不管趋于负无穷还是趋于正无穷，函数极值只有一个，而不分正负无穷的极值

追答

有这样说吗 那你举出一个趋于正负无穷 但是极值不同的例子

追问

这样的例子没想到，但它一定存在，你可以画图像看看

追答

还是跟上面一样 不管x是正无穷还是负无穷 x绝对值都是正无穷 也就是说定义中只考虑了正无穷 你把你这个图形带入到定义中 看看 不成立

追问

那我画的这个图像对应的函数能不能说它有极限啊？

追答

能说啊 而且是正无穷和负无穷两个不同极值 但是得分开验证 根据定义 因为得到了两个极值

追问

也就是说书上定义的函数极限没有包括我说的这种吗？

追答

它只包括了正无穷 你可以自己看啊

追问

他是说绝对值为正无穷，那不是包括负无穷吗？

追答

你把 你的图形表示的带入定义验证一下 看看包含了负无穷没有 真心纠结

追问

恕学生愚钝，没看出来啊，请明示

追答

x需要满足lxl>X 对应的函数值f（x）都满足 lf（x）-AlX 但是后面那句lf（x）-Al<e不成立 因为你的趋于正无穷时是取A成立 趋于负无穷时是取-A才成立！！ 所以不符合定义所说 所以不包含在定义内 也就是不能说A是f（x）当x趋于无穷的极限 ！！ 你那种情况需要分开两类说明

追问

那为什么高数书上没有包括这种情况啊？

没有分开讨论啊？

是不是不全面

追答

没必要 知道就行了 同学 别纠结这一个东西了 学点别的~