Question

高一数学：已知圆C：（x-3)²+（y-4）²=4及两点A（-1,0），B（1,0），P（x，y），为圆C上

任意一点，求|AP|²+|BP|²的最小值

Answer 1

方法一：用到一个结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和（
把平行四边形切去一半，剩下三角形和中线，
由上面的结论可得裤备，
|AP|^2+|BP|^2＝(4PO^2+AB^2)/2，其中o为坐标原点。
故，要察运想所求平方和最小，只需PO最小（AB=2为已知）
显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心。
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值胡没毁＝(36+4)/2=20

方法二:
设P点坐标为（x，y），
则|AP|^2+|BP|^2=(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=2(x^2+y^2)+2=2PO^2+2
要想上式最小，只需PO最小，
显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心。
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值=20

Answer 2

圆心为C(3，4)，半径为颤悄r=2。
|AP|²+|BP|²=(x+1)²+y²+(x-1)²+y²=2(x²+y²)+2=2|PO|²+2，
当且仅当P为线猜孝段OC与圆C的穗洞稿交点时，|PO|最小为|OC|-r=5-2=3，
所以|AP|²+|BP|²的最小值为20。

追问

PO哪来的？

Answer 3

A=|AP|^2+|BP|^2=(-1-x)^2+(0-y)^2+(1-x)^2+(0-y)^2=2X^2+2+2Y^2
园猛团方扮亩程得枝缺橘

X=3 Y=2 Amin=2*3^2+2+2*2^2=28