Question

已知函数f(x)=(e^x)/(x^2-ax+1)1.求单调区间2.若不等式f(x)大于等于x，对于任意的x属于[0，a+1]恒成立

Answer 1

解1：
f(x)=(e^x)/(x²-ax+1)
f'(x)=[(e^x)'(x²-ax+1)-(e^x)(x²-ax+1)']/(x²-ax+1)²
f'(x)=[(e^x)(x²-ax+1)-(e^x)(2x-a)]/(x²-ax+1)²
f'(x)=[(e^x)(x²-ax+1-2x+a)]/(x²-ax+1)²
f'(x)=(e^x)[x²-(a+2)x+a+1]/(x²-ax+1)²
1、令：f'(x)＞0，即：(e^x)[x²-(a+2)x+a+1]/(x²-ax+1)²＞0
有：x²-(a+2)x+a+1＞0
x²-2×[(a+2)/2]x+[(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1＞0
[x-(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1＞0
[x-(a+2)/2]²-[(a²+4a+4-4a-4)/4＞0
[x-(a+2)/2]²＞(a/2)²
当a≥0时：
x-(a+2)/2＞a/2、x-(a+2)/2＜-a/2
解得：x＞a+1、x＜1
当a＜0时：
x-(a+2)/2＞-a/2、x-(a+2)/2＜a/2
解得：x＞1、x＜a+1
2、令：f'(x)＜0，即：(e^x)[x²-(a+2)x+a+1]/(x²-ax+1)²＜0
有：x²-(a+2)x+a+1＜0
x²-2×[(a+2)/2]x+[(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1＜0
[x-(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1＜0
[x-(a+2)/2]²-[(a²+4a+4-4a-4)/4＜0
[x-(a+2)/2]²＜(a/2)²
当a≥0时：
-a/2＜x-(a+2)/2＜a/2
解得：1＜x＜a+1
当a＜0时：
a/2＜x-(a+2)/2＜-a/2
解得：a+1＜x＜1
综上所述，所求单调区间为：
当a≥0时：
f(x)的单调增区间是：x∈(-∞，1)、x∈(a+1，∞)
f(x)的单调减区间是：x∈(1，a+1)
当a＜0时：
f(x)的单调增区间是：x∈(-∞，a+1)、x∈(1，∞)
f(x)的单调减区间是：x∈(a+1，1)。

追问

第二个小题呢(其实还有一个条件是a>=0)

Answer 2

解1：
f(x)=(e^x)/(x²-ax+1)
f'(x)=[(e^x)'(x²-ax+1)-(e^x)(x²-ax+1)']/(x²-ax+1)²
f'(x)=[(e^x)(x²-ax+1)-(e^x)(2x-a)]/(x²-ax+1)²
f'(x)=[(e^x)(x²-ax+1-2x+a)]/(x²-ax+1)²
f'(x)=(e^x)[x²-(a+2)x+a+1]/(x²-ax+1)²
1、令：f'(x)＞0，即：(e^x)[x²-(a+2)x+a+1]/(x²-ax+1)²＞0
有：x²-(a+2)x+a+1＞0
x²-2×[(a+2)/2]x+[(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1＞0
[x-(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1＞0
[x-(a+2)/2]²-[(a²+4a+4-4a-4)/4＞0
[x-(a+2)/2]²＞(a/2)²
当a≥0时：
x-(a+2)/2＞a/2、x-(a+2)/2＜-a/2
解得：x＞a+1、x＜1
当a＜0时：
x-(a+2)/2＞-a/2、x-(a+2)/2＜a/2
解得：x＞1、x＜a+1
2、令：f'(x)＜0，即：(e^x)[x²-(a+2)x+a+1]/(x²-ax+1)²＜0
有：x²-(a+2)x+a+1＜0
x²-2×[(a+2)/2]x+[(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1＜0
[x-(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1＜0
[x-(a+2)/2]²-[(a²+4a+4-4a-4)/4＜0
[x-(a+2)/2]²＜(a/2)²
当a≥0时：
-a/2＜x-(a+2)/2＜a/2
解得：1＜x＜a+1
当a＜0时：
a/2＜x-(a+2)/2＜-a/2
解得：a+1＜x＜1
综上所述，所求单调区间为：
当a≥0时：
f(x)的单调增区间是：x∈(-∞，1)、x∈(a+1，∞)
f(x)的单调减区间是：x∈(1，a+1)
当a＜0时：
f(x)的单调增区间是：x∈(-∞，a+1)、x∈(1，∞)
f(x)的单调减区间是：x∈(a+1，1)。