Question

定义R上的奇函数F(X)是以2为周期的函数,则F(1)+F(2)+F(3)……+F(7)=

1.定义R上的奇函数F(X)是以2为周期的函数,则F(1)+F(2)+F(3)……+F(7)=

2.若有F(X-2)+2F(2-X)=2X+1 求F(1/3)=

3.若奇函数F(X)在(-∞,0)上是增函数,且F(-2)=0,则不等式X(FX)<0的解集为

4.定义在R上的任意函数F(X)都可以表示成一个奇函数G(X)与一个偶函数H(X)之和，F（X）=2^X .那么[H(X)]^2-[G(X)]^2

题目多了点...麻烦了...

最好有详细点的过程 谢谢```

Answer 1

1，解：由F(x)为以2为周期的奇函数，得：
F(2)=F(0)=0（在x=0处有定义的奇函数满足F(0)=0)
F(3)=F(3-2*2)=F(-1)=-F(1)
F(4)=F(4-2*2)=F(0)=0
F(5)=F(5-2*2)=F(1)
F(6)=F(6-3*2)=F(0)=0
F(7)=F(7-4*2)=F(-1)=-F(1)
相加，得：原式=F(1)+0-F(1)+0+F(1)+0-F(1)
=0

2, 解：令x=t+2,得：
F(t+2-2)+2F(2-(t+2))=F(t)+2F(-t)=2(t+2)+1...(1)
由（1）得：F(-t)+2F(t)=2(-t+2)+1...(2)
以F(t),F(t)为元解上述方程组，得：
F(t)=2t+（5/3），所以F(1/3)=7/3.

3,解：因为奇函数在正负对称区间上的单调性相同，所以函数F(x)在（0，+∞）上也是增函数，由F(-2)=-F(2)=0得：F(2)=0,
所以当x<-2,或0<x<2时，函数值F(X)小于零
当-2<x<0,或x>2时，含数值F(X)大于零
xF(x)<0等价于1>，x>0,F(x)<0
或 2>,x<0,F(x)>0
由1〉得：0<x<2, 由2〉得：-2<x<0
综上不等式的解集为(-2,0)并(0,2).

4,解：容易验证H(X)=[F(X)+F(-X）]/2
G(X)=[F(X)-F(-X)]/2
所以对于F（x）=2^x得：H(x)=[2^x+2^(-x)]/2
G(x)=[2^x-2^(-x)]/2
所以 [H(X)]^2-[G(X)]^2 ={4*(2^x)*[2^(-x)] }/4
=4/4=1.

Answer 2

1.因为F(x)为奇函数，所以F(-x)=-F(x)且F(0)=0；
因为F(x)为以2为周期的函数，所以F(x)=F(x+2)，
所以F(1)=F(3)=F(5)=F(7),F(2)=F(4)=F(6)=F(0)=0，
令x=-1,则F(1)=F(-1)=-F(1)，所以F(1)=0.
所以F(1)+F(2)+F(3)……+F(7)=0；

2.因为F(X-2)+2F(2-X)=2X+1，
令M=X-2，所以X=M+2,所以F(M)+2F(-M)=2M+5，
所以F(-M)+2F(M)=-2M+5.
联合以上两式，得F(M)=-2M+5/3.
令M=1/3，所以F(1/3)=-2/3+5/3=1；

3.因为奇函数F(X)在(-∞,0)上是增函数，且F(-2)=0,
所以当x<-2或0<x<2时，F(x)<0；
当-2<x<0或x>2时，F(x)>0.
因为xF(x)<0，所以x、F(x)一正一负.
所以xF(x)<0的解集是-2<x<0或0<x<2；

4.因为F(X)可以表示成一个奇函数G(X)与一个偶函数H(X)之和，所以F(X)=G(X)+H(X)，
所以F(-X)=G(-X)+H(-X)=-G(X)+H(X)，
所以[H(X)]^2-[G(X)]^2=[G(X)+H(X)][H(X)-G(X)]
=F(X)*F(-X)=2^X*2^(-X)=2^(X-X)=2^0=1，
所以[H(X)]^2-[G(X)]^2=1.