Question

一道初三数学几何题

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

注：复制无效，最好用纸写下来然后拍照。谢谢！！！

Answer 1

(1)作PF∥BC,交AB于F,则∠FPD=∠BQD=30°;∠APF=∠C=60°=∠A.

∴⊿APF为等边三角形,AP=PF=AF.

∵∠PDF=∠AFP-∠FPD=30°=∠FPD.

∴PF=DF.(等角对等边)

∵BQ=AP=PF;∠BDQ=∠FDP;∠BQD=∠FPD.

∴⊿QBD≌⊿PFD(AAS),DB=DF=PF=AF.

故AP=AB/3=2.

(2)ED的长度不发生变化.

证明:作PF∥BC,交AB于F,则∠APF=∠C=60°=∠A.

∴⊿APF为等边三角形,AP=PF.

∵PE垂直AF.(已知)

∴AE=EF.(等腰三角形"三线合一")

∵BQ=AP=PF;∠BDQ=∠FDP;∠QBD=∠PFD=120度.

∴⊿QBD≌⊿PFD(AAS),BD=FD.

∴EF+FD=AE+BD.(等式的性质)

故ED=AB/2=3.

追问

还是觉得你这个最好了。过程也比较简单。

Answer 2

设ab中点为o。
D为圆上一点，所以BD垂直于AC。
由于OB=OD，所以角OBD=ODB
由DB垂直于AC得，三角形BDC为直角三角形。
E为BC中点，所以，BE=DE，所以，角DBE=BDE
OBD+DBE=90度，所以
ODB+BDE=90，即DE垂直于OD，所以相切。
解方程，得4和6。直角三角形ABD斜边AB=6，AD=4；
三角形abc相似于三角形adb
所以AB/AC=AD/AB，得ac=9。勾股定理求bc