Question

组合数学-整数拆分问题，求高手解答

例5=5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1共7种拆分，即p(5)=7，其中不出现1的拆分有两种（5、3+2），4=4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1共5种拆分，即p(4)=5。
而p(5)-p(4)=2；求证，对任意自然数n的拆分，其中不出现1的拆分有p(n) − p(n − 1)

Answer 1

这个直观上是很明显的。
对任意整数n,如果其存在含1分拆的分拆，
这里令(n)表n的所有分拆:
那么含有1的分拆可以表示为1+(n-1).
所以含有1的分拆数为:n-1的分拆数.
因此不含1的分拆数为:
p(n)-p(n-1).
这样就完成了证明.