Question

初三上学期数学二次函数题目 （要过程 ）

已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a，b，c都不等于0），它的顶点P的坐标是（−b/2a，4ac−b²/4a），与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．
（1）求抛物线y=-2x²-4x+1的伴随直线和伴随抛物线的解析式。
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x²-3和y=-x-3，则这条抛物线的解析式是？
（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a，b，c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式。

Answer 1

已知抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a，b，c都不等于0），它的顶点P的坐标是（−b/2a，4ac−b²/4a），与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．
（1）求抛物线y=-2x²-4x+1的伴随直线和伴随抛物线的解析式。
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x²-3和y=-x-3，则这条抛物线的解析式是？
（3）求抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a，b，c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式。

(3)解析：∵抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a，b，c都不等于0）
顶点P(−b/2a，4ac−b²/4a），与y轴的交点是M(0，c)
设其伴随抛物线：y=mx^2+c
∵过P点
∴y=mb^2/(4a^2)+c=4ac−b²/4a
mb^2/(4a^2)=−b²/4a==>m=-a
∴伴随抛物线：y=-ax^2+c
伴随直线：k=(-b^2/(4a)/(-b/(2a))=b/2==>y=b/2x+c
(1)解析：∵抛物线y=-2x²-4x+1
顶点：P(-1,3), 与y轴的交点是M(0,1)
伴随抛物线：y=2x^2+1
伴随直线：k=(3-1)/(-1)=-2==>y=-2x+1
(2)解析：一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x²-3和y=-x-3
∴M(0,-3)
b/2=-1==>b=-2
-a=-1==>a=1
这条抛物线的解析式是y=x^2-2x-3

追问

第一问顶点不是（1，-1）吗？

追答

你再好好算算

Answer 2

(1)解析：∵抛物线y=-2x²-4x+1

顶点：P(-1,3), 与y轴的交点是M(0,1)
伴随抛物线：y=2x^2+1
伴随直线：k=(3-1)/(-1)=-2==>y=-2x+1
(2)解析：一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x²-3和y=-x-3
∴M(0,-3)
b/2=-1==>b=-2
-a=-1==>a=1
这条抛物线的解析式是y=x^2-2x-3
3)(解析：∵抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a，b，c都不等于0）
顶点P(−b/2a，4ac−b²/4a），与y轴的交点是M(0，c)
设其伴随抛物线：y=mx^2+c
∵过P点
∴y=mb^2/(4a^2)+c=4ac−b²/4a
mb^2/(4a^2)=−b²/4a==>m=-a
∴伴随抛物线：y=-ax^2+c
伴随直线：k=(-b^2/(4a)/(-b/(2a))=b/2==>y=b/2x+c

追问

第一问顶点不是（1，-1）吗？

追答

是（-1,3）。用配方法或用公式就能算出顶点坐标