Question

数学问题

我们把定义在R上，且满足f（x+T）=af（x）（其中常数a，T满足a≠1，a≠0，T≠0）的函数叫做似周期函数．
（1）若某个似周期函数y=f（x）满足T=1且图象关于直线x=1对称．求证：函数f（x）是偶函数；
（2）当T=1，a=2时，某个似周期函数在0≤x＜1时的解析式为f（x）=x（1-x），求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈Z的解析式；
（3）对于确定的T＞0且0＜x≤T时，f（x）=ln(x+e)，试研究似周期函数函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

1. 根据对称性，有，f(x) = f(2 - x)。

   现在要找f(-x)和f(x)的关系。

   f(-x) = f(2 + x)

   而根据似周期性，上式还可以进一步写成如下：

   f(-x) = f(2 + x) = a^2f(x)             【式1】
   

   接下来要证明a^2 = 1

   对式1，把x换成-x，有

   f(x) = a^2f(-x)

   把上式代入式1，有

   f(-x) = a^2f(x) = a^4f(-x)

   从而有a^4 = 1，显然，a^2 = 1，于是式1就是

   f(-x) = f(x)，即偶函数

2. 这就是一个迭代问题，现在考虑迭代n次后的效果：

   若0≤x＜1，f(x + n) = 2f(x + n - 1) = 2^nf(x) = 2^n[x(1-x)]

   但是现在要求x∈[n，n+1），所以把x换成x - n，有

   f(x) = 2^n[(x - n)(1 - x + n)]，此时x∈[n，n+1），你再整理一下表达式就好了。

   【为了第三问方便，此处顺便给出抽象函数在第n个“周期”内的表达式：f(x) = a^nf(x-nT)】
   

3. 我们先从直观上来做个分析。f在第一个“周期内”，是个单调增函数，f(0) = 1【严格地说只能用趋近于】，f(T) = ln(T + e)。显然在每一个小周期内，它都是单调增的。关键的问题就是第n+1个周期的开头那个函数值是否能够比第n个周期的末尾的那个函数值大。

   也就是要使得a^(n+1)f(0)比a^nf(T)要大，也就是a^(n+1) > a^nln(T + e)对于任意正整数n恒成立。

   现在先做化简。要是a > 0，则要求a > ln(T + e)成立，则可以满足单调增的要求。

   要是a < 0，显然那个式子不可能恒成立，因为符号会不断地一直跳。

   所以结论就是a > ln(T + e)时，单调增。
   

Answer 2