Question

什么叫零因式，为什么求极限是当趋向于那个零点是时，分子分母可以同约么

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Answer 1

1、它们首先是分子分母的一个公因式，在英文中，因子、因式，都是factor，没有区别。

2、分子分母的公因式，不管多大多小，都可以约分。

3、由于极限中经常有趋近于0的情况，它们不是真正的0，而是趋向于0！所以即使分母
趋向于0，也不会出现与中小学就建立起来的分母不能为0的概念相冲突的情况。正面
来说，就是无论什么层次的数学，分母都不会为0。

4、极限中的0/0型不定式，只是两个趋向于0的无穷小的比值，也就是它们趋向于无穷小
的比率(rate，ratio)。

5、说它们是0因式，其实并不妥当，它们并不等于0；如果作为比喻，无可厚非；如果作
为概念写进教科书，就不合适，是很不严谨的态度。没有办法，微积分教学中，我们
另起炉灶、搅乱国际惯例的内容有很多很多，虽然不断更改，但是有一些我们坚决不
改，同时又在不断杜撰。原因在于我们的教师们既看不懂外文，也不想看懂，这样的
教师多如牛毛，给学生的误导是无法避免的。在英文中，没有zero factor的说法。

6、分子分母中，两个趋向于0的公因子约分后，剩下来的就是它们的比率。
也就是说分子上的因子趋向于0，被约分后，分子上剩余的部分，是表示几个这样的因子；
分母上的剩余部分表示分母上有几个这样的因子。

7、被约去的好像是不重要的，一般人会认为，因为不重要才约去。其实被约去的是主体，
有它们才能说明是趋向于0，才是不定式；只有不定式，才出现极限的计算理论；只有
不定式，罗毕达法则才成立；只有不定式，才有导数理论。其实，所有的导数公式的
来源都是0/0型的不定式。剩余的部分只是倍数而已。

明白了吗？有没有被搞乱？
欢迎追问，有问必答。

追问

~
在数学里面表示什么

追答

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这个符号，就是我们常常用来表示等价的符号。
x ~ sinx，就是说x与sinx在x趋向于0的时候，是等价的。
其实这个等价值是一级近似，也就是只考虑一阶无穷小时，是等价的。
考虑到高阶无穷小时，它们并不等价；
单纯考虑比值的话，它们趋向于1。

另外在概率统计中，表示服从、遵从、符合的意思。
X ~ N（σ²，μ），说明，变量X服从正态分布。

追问

上面第六条里分子上剩余的几个部分，是表示这样的几个因子具体点。第四条里它们趋向于无穷小的比率是指它们同时趋向于还是分别趋向于无穷小。

追答

第四条里它们趋向于无穷小的比率是指它们同时趋向于还是分别趋向于无穷小?
答：是同时趋向于无穷小的比值。

第六条里分子上剩余的几个部分，是表示这样的几个因子具体点。
答：举例来说，分子若是x(1+cos2x)，分母是xe^x，分子分母在x趋向于0时，
都趋向于0，分子有(1+cos2x)个x，分母有e^x个x，约分后，它们的比例
是(1+cos2x)/(e^x)，取极限后是2。这就是说，在x趋向于0时，分子虽然
是无穷小，却是分母无穷小的两倍，或者说分母趋向于无穷小的速度是
分子趋向于无穷小速度的两倍。