Question

已知函数f（x）=aInx +（1/2 ）x^2-(1+a)x (x＞0）

（1）求f（x）的单调区间（2）若f（x）≥0在区间（0，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围（3）n∈N+，求证：1/In2 + 1/In3 +....+1/In(n+1) ＞n/(n+1)

Answer 1

f（x）=aInx +（1/2 ）x^2-(1+a)x (x＞0），
f'(x)=a/x+x-(1+a)=[x^2-(1+a)x+a]/x=(x-1)(x-a)/x,
(1)(i)a=1时f'(x)>=0,f(x)(x>0)是增函数。
（ii)a>1时1<x<a,f'(x)<0,f(x)是减函数；其他，f(x)是增函数。
(iii)0<a<1时a<x<1,f'(x)<0,f(x)是减函数；其他，f(x)是增函数.
(iv)a<0时0<x<1,f'(x)<0,f(x)是减函数；其他，f(x)是增函数.
(2)f（x）≥0在区间（0，+∞）内恒成立,
<==>(1/2)x^2-x>a(x-lnx),x-lnx>0,
<==>a<[(1/2)x^2-x]/(x-lnx),记为g(x),
g'(x)=[(x-1)(x-lnx)-(x^2/2-x)(1-1/x)]/(x-lnx)^2
=(x-1)(x/2+2-lnx)/(x-lnx)^2,
设h(x)=x/2+2-lnx,则
h'(x)=1/2-1/x=(x-2)/(2x),
h(x)|min=h(2)=3-ln2>0,
∴g(x)|min=g(1)=-1/2,
∴a<-1/2,为所求.
（3）n∈N+时，0<ln(n+1)<n(n+1)，
∴1/ln(n+1)>1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1),
∴1/In2 + 1/In3 +....+1/In(n+1)
＞1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1).