Question

高中数学，求解，

Answer 1

5、k=(lnx -1)/x，k'=(2-lnx)/x²，令 k'=0 得 k 的唯一极（大）值点 x=e²，对应 k=1/e²；
当 x→+∞，k→0；当 x→0+，k→-∞；∴ -∞<k<1/e²；
6、f(x)=-(x²/2)+4x-3lnx，f'(x)=-x+4-(3/x)；
f(x) 不单调，即 f'(x) 在限定区间有正有负，亦即 f'(x) 的最大值大于 0、最小值小于 0；
依函数定义域 x>0，∴ f'(x)=4-[x+(3/x)]≤4-2√[x*(3/x)]=4-2√3>0，对应极大值点 x=√3；
当 x≤√3，函数单调递增，x>√3，函数单调递减，所以非单调区间必定包含 x=√3；
∴ t<√3，t+1>√3，即 √3-1<t<√3；
7、（1）f(x)=a²lnx -x²+ax，f'(x)=(a²/x)-2x+a；
令 f'(x)=0，求得极值点 x=a（ 方程另一根x=-a/2 不在定义域内，舍去）；
当 x∈(0,a]，f(x) 单调递增，当 x∈(a,+∞)，函数单调递减；
（2）e-1≤f(x)≤2² 在区间[1,e]上恒成立，表示 f(x) 在限定区间上的最大值不大于 e²、最小值不小于 e-1；
若 a≤1，函数 f(x) 在限定区间上单调递减：
最小值 f(e)=a²-e²+ae≥e-1，∴ a≥[-e+√(5e²+4e-4)]/2>1，与前设 a≤1 矛盾，无解；
若 a≥e，函数 f(x) 在限定区间上单调递增：
最大值 f(e)=a²-e²+ae≤e²，解得 -2e≤a≤e；只能 a=e；
最小值 f(1)=a-1≥e-1，解得 a≥e；
若 1<a<e，函数 f(x) 在限定区间有极大值；最小值 ≥f(1)=a-1≥e-1 → a≥e，与前设 a≤1 矛盾，无解；
综合以上三种情况，只有 a=e 刚好符合题意；