Question

若函数f（x）对任意实数x恒有2f（x）-f（-x）=3x+1,求f（x）

Answer 1

由于2f（x）-f（-x）=3x+1恒成立
故f(x)必为一次函数（如果不是一次函数2f（x）-f（-x）=3x+1绝对不可能恒成立，具体原因我也不清楚，知道这个结论就行）
设f(x)=kx+b 则
2f（x）-f（-x）
=2(kx+b)-[k(-x)+b]
=3kx+b=3x+1
所以k=1 , b=1 。 即f(x)=x+1

追问

我知道了，谢谢

Answer 2

恒成立的意思就是等式两边完全相等，互为充要条件。
观察式子可以看出f（x）一定为一次函数。设f（x）=kx+b
代入计算即可。

追问

怎么说

追答

哪里有疑问？

追问

怎么代入

讲详细一点

我现在知道了

追答

2kb+2b+kx-b=3x+1
整理得：（3k-3）x=1-b
恒成立所以与x取值无关。
3k-3=0
1-b=0
解出来即可。

追问

但不知道f（x）为什么是一次函数

追答

可以假设不是一次函数。那样的话2f（x）与f（-x）中非一次项系数不可能为0，后面相加减的式子就不能为一次式

追问

我知道了，谢谢

追答

嗯嗯。希望对你有帮助。