Question

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=

=∠2 ，∠3=∠4。（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长。
（3）在（2）的条件下，连接CF，求△CFG的面积。

Answer 1

　1.　∵在正方形中，AB=AD
　　又∵∠1=∠2 ∠3=∠4
　　∴△ABE全等于△DAF（ASA）
　2.　.∵在正方形ABCD中，∠BAD=∠4+∠1=90度
　　而∠ 1=∠2
　　∴∠4+∠1=∠4+∠2=90度
　　∴△ABE为Rt△
　　∵AD//BC
　　∴∠ 1=∠2=∠AGB=30度
　　又∵AB=2
　　∴AE=2/2=1（Rt三角形中，30度所对的边等于斜边的一半）
　　在Rt△ABE中∠AEB=90度，AB=2 AE＝1
　　∴BE²=2²-1²=3
　　∴BE=√3
　　∵△ABE全等于△DAF
　　∴BE=AF=√3
　　∵EF=AF-AE
　　∴EF=（√3）-1
3. ∵∠AEB=90度
　　∴∠BEG=180-90=90度
　　在Rt△EBG中，∠BEG=90度 ∠EGB=30度 BE=√3
　　∴BG=2×√3=2√3
　　∵正方形边长为2
　　∴CG=（2√3）-2
　　在Rt△ABG中，∠ABG=90度 ∠AGB=30度 AB=2
　　∴AG=2×2=4
　　又∵AE=1
　　∴EG=4-1=3
　　∵EF=（√3）-1
　　∴FG=3-｛（√3）-1｝=4－√3
　　作FH⊥BG
　　∴∠FHG=90度
　　在Rt△FHG中，∠FHG=90度 ∠FGH=30度 FG＝4-√3
　　∴FH=（4-√3）/2
　　∵在△FCG中 底为（2√3）-2 高为（4-√3）/2
　　∴S△FCG=底×高÷2=（5√3-7）/2

Answer 2

（1）ASA ∠2=∠1 AB=AD ∠4=∠3
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴AD∥BG，∠BAD=90°即∠1+∠4=90°
∴∠1=∠G
又∵∠G=30°
∴∠1=30°
∵△ABE≌△DAF
∴∠4=∠3，AE=DF
∴∠3+∠1=90°
∴∠AFD=90°
∴DF=½AD
又∵AD=2
∴DF=1
∴AF=√3
∴EF=AF-AE=AF-DF=√3-1