Question

已知抛物线y^2=2px(P>0)的焦点为F,在X轴上F的右侧有一点A,以FA为直径作园C,园C

（半径为R）圆C与抛物线x轴上方部分交于M,N两点。（1）求（FM+FN）/R的值（2）由（1）得（FM+FN)/R为定值，类比（1），若F为椭圆的左焦点，写出关于椭圆类似的结论并证明

Answer 1

F(P/2,0) A(P/2+2R,0) C(P/2+R,0)
圆方程：（x-P/2-R)^2+y^2=R^2
y^2=2Px
（x-P/2-R)^2+2Px=R^2化简 x^2+(P-2R)x+(P^2)/4+PR=0
x1+x2=-P+2R
(FM+FN)/R=(X1+P/2+X2+P/2)/R=2

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1
F(-c,0) A(-c+2R,0) C(-c+R,0) a^2=b^2+c^2 e=c/a
圆C方程： （x+c-R)^2+y^2=R^2
与椭圆方程联立 得：(b^2/a^2)x^2-(x+c-R)^2=b^2-R^2
化简得：（-c^2/a^2)x^2-2(c-R)x-a^2+2cR=0
FM=c/a *(x1+a^2/c)
FN=c/a *(x2+a^2/c)
(FM+FN)/R=[c/a*(x1+x2)+2a]/R={c/a*[-2(c-R)/（-c^2/a^2)]+2a}/R=2a/c=2/e