Question

已知函数y=f(x)对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)f(y)且x>1时f(x)<1,f(x)≠0

证明f(x)＞0
求证：y=f（x）在（0，+∞）上为减函数

Answer 1

证明：
1.>在R+上任取 x>0 ,令y=x，可得
f(x^2) = f(x)*f(x) >=0

∵ f(x)≠0

∴ f(x^2)>0
由于x在R+上任意性，x^2 能取到R+上所有值

∴ f(x)>0

　　
2> 任取0< x1<x2
则 0< f(x2/x1) < 1

∴ f(x2) = f(x2/x1 * x1)

= f(x2/x1) *f(x1)
< f(x1)

即 在 0< x1<x2时

f(x1)>f(x2)

∴ y=f（x）在（0，+∞）上为减函数

Answer 2

证明（1)：设任意x>1，则0<1/X<1。f(1)=f(x)*f(1/x),f(x)>1,f(2)=f(1)*f(2),则f(1)=1且0<f(1/x)<1,综上故得证。
证明(2):设任意x1>x2>0且f(x1)*f(a)=f(x2),则x1*a=x2,0<a<1.故0<f(a)<1,即0<f(x2)/f(x1)<1,则f(x2)<f(x1).故得证。

Answer 3

f1为1，f0为0，