Question

已知f(x)=(3a-1)+4a,x<1 -x+1,x≥1是R上的减函数，求a的范围

Answer 1

f(x)={(3a-1)x+4a,x<1 ①
{-x+1,x≥1
是R上的减函数,
由①，3a-1<0,a<1/3,
f(1-)=3a-1+4a=7a-1>=f(1)=0,a>=1/7.
综上，1/7<=a<1/3.

追问

为什么使x等于1，或者说，为什么在x＜1时，f(x)大于0

追答

临界处要保持趋势。

Answer 2

x≥1时，函数为减函数 最大值为x=1时，f=0。
故而x＜1时，函数也是减函数，且最小值大于0即可。
3a-1<0，a＜1/3，x=1时 f=3a-1+4a>0 a>1/7
所以1/7<a<1/3

追问

其他都懂了，但为什么最小值要大于0啊

Answer 3

首先关于x的一次函数，要要它是减函数，斜率k即3a-1＜0得a＜1/3，保证了x在（负无穷，1）为单调减区间。题中区间[1，正无穷）已为单调减区间。不要认为两个区间都是减区间就是在R上的减函数。我们回忆一下减函数的定义：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1<x2时,都有f(x1)> f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。此区间叫做函数f(x)的单调减区间。注意里面的＂任意＂和＂都"
也就是说只要不满足是任意一个都不可以。这也就是说在R上任取x1＜x2都满足f（x1）＞f（x2）时才是在R上的减函数。或者说(3a-1)x+4a，x＜1的图像全在-x+1，x＞=1的上面。则3a-1<0与7a-1>=-1+1联立。（这里为什么要取
x=1，是因为要满足(3a-1)x+4a>=-x+1可以看成前者的最小函数值大于后者的最大函数值，所以前者去定义域内x的最大值，后者取定义域内x的最大值）。解得1/7<=a<1/3。希望对您有帮助，不懂追问。