Question

如图，已知三棱锥P-ABC中，PA垂直于平面ABC，AB垂直于AC，AC=1/2AB，N为AB上一

如图，已知三棱锥P-ABC中，PA垂直于平面ABC，AB垂直于AC，AC=1/2AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB和BC的中点
求证CM垂直于SN

Answer 1

解：取AB中点D，连接CD,DM,CN.DS

证明：∵M，D，分别为PB，AB的中点，

∴MD∥PA
∵PA⊥平面ABC

∴MD⊥平面ABC
又∵SN⊂平面ABC

∴MD⊥SN

∵S，D，分别为BC，AB的中点，

∴DS∥AC且DS=1/2×AC

又∵AB⊥AC，

∴∠ADS=∠BAC=90°，

∵AC=1/2×AB

∴AC=AD  

∴∠ADC=45°
又∵AB=4AN 

∴DN=1/4×AB=1/2×AC

即DN=DS，

∴∠DNS=∠DSN=45°

且∠ADC=45°，

故有SN⊥CD，
又∵MD∩CD=D，
∴SN⊥平面CMD，

且CM属于平面CMD

故SN⊥CM.

【本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的判定及性质，同时考查了推理论证的能力，灵活运用是解题的关键.】

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