Question

若不等式mx²-2x+1-m＜0对任意m∈[-2,2]恒成立，则实数x的取值范围是

Answer 1

设f(m)=mx²-2x+1-m，即f(m)=(x²-1)m-2x+1，这是一个以m为自变量函数。
当x²-1=0时，x=±1，
若x=1则常数函数f(m)=-1<0成立，满足题意，所以x的取值中有x=1；
若x=-1,则常数函数f(m)=3<0不成立，所以x的取值中没有-1，即x≠-1。
当x²-1≠0，即x≠±1时，f(m)是一次函数，其图象在-2≤m≤2上是一条线段，
只要这条线段整个都在x轴下方，则其函数值就恒小于0，为此，
只需线段的两个端点都在x轴下方即可，即只需函数在m=-2和m=2时
的函数值小于0即可，
于是有f(-2)<0且f(2)<0,即-2x²-2x+3<0且2x²-2x-1<0
解得(-1+√7)/2<x<(2+√3)/2.
综上所述，(-1+√7)/2<x<(2+√3)/2