Question

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等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S10=100，S100=10,则S110=?
解：｛Sn/n｝成等差数列，又S10/10=10,S100/100=1/10
,所以｛Sn/n｝的公差为-11/100,公差怎样算的，需要具体过程
所以……为什么公差为-11/100，怎样来的？

Answer 1

因为{ an }是等差数列，设其首项为a1,公差为d，前n项和为Sn，则
Sn/n ＝ [a1*n + (1/2)*n*(n-1)*d]/n = a1 + (1/2)*(n-1)*d,(构造新数列{Sn/n}，Sn/n是数列的第n项，）
S(n-1)/(n-1) = [a1*(n-1)+(1/2)*(n-1)*(n-2)*d]/(n-1)= a1 + (1/2)(n-2)d （S(n-1)/n是{Sn/n}的第n-1项）
Sn/n - S(n-1)/(n-1) ＝ a1+(1/2)*n*d - [ a1-(1/2)*(n-2)d] (求新构造数列的后一项与前一项之差
= a1 + (1/2)*n*d - a1 - (1/2)*(n-2)*d = d （得到差为一常数d)
所以，新构造数列{Sn/n}是一等差数列。
S10/10 是这一新数列的第10项；S100/100是这一新数列的第100项，设该数列的公差为d1，根据等数列公差与项的关系，则有
S100/100 ＝ S10/10 + (91-1)*d1 ( 91表示从第10项起到第100项共91项,利用等差数列第n项与首项的关系，这里可以把第10项当作首项看待）
所以 d1=[(S100/100-S10/10]/90＝－0.11＝－11/100
不知明白了没有。