Question

在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,,且3acosA=ccosB+bcosC

若a=2根3，cosB+cosC=3分之2根3，求边c

Answer 1

由正弦定理，因为3acosA=ccosB+bcosC，可得：3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA，而sinA>0，所以cosA=1/3，sinA=2√2/3. 再由cosB+cosC=2√3/3，可得：-cos(A+C)+cosC=sinAsinC-cosAcosC+cosC=2√2/3sinC+2/3cosC=2√3/3，化简得，√2/√3sinC+1/√3cosC=1，因为sinC*sinC+cosC*cosC=1，解得：cosC=1/√3，sinC=√2/√3

再由正弦定理，有c=a*sinC/sinA=2√3*√2/√3*3/2√2=3

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