Question

已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(xy)=xf(y)+yf(x

已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(xy)=xf(y)+yf(x)成立数列an满足an=f(2∧n)，且a1=2，试求数列an通项公式

Answer 1

答：
对任意x，y属于实数R，都有：f(xy)=xf(y)+yf(x)
An=f(2^n)，A1=f(2)=2
A(n+1)=f [2^(n+1)]=f [2*2^n]=2*f(2^n)+2^n*f(2)=2*An+2^(n+1)
两边同除以2^(n+1)：
A(n+1)/2^(n+1)=An/2^n+1
所以：An/2^n是公差为1的等差数列，首项为A1/2=2/2=1
所以：An/2^n=n
所以：An=n*2^n