Question

求解，谢谢。高一数学

Answer 1

设函数f(x)=x+2/x+1,求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性

解：f(x)=(x+2)/(x+1)=1+1/(x+1)，定义域为｛x|x≠-1｝

画图或用导数f‘(x)= —1/（x+1)^2，

得单调递减区间为（－∞，－1），（－1，+∞）

证明：设x1<x2<-1
x1+1<0
x2+1<0
x2-x1>0
所以
f(x1)-f(x2)=1/(x1+1)-1/(x2+1)=(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)>0
f(x1)>f(x2)
∴f(x)在区间（－∞，－1）上是减函数
同理设-1<x1<x2
0<x1+1
0<x2+1
x2-x1>0
所以
f(x1)-f(x2)=1/(x1+1)-1/(x2+1)=(x2-x1)/(x1+1)(x2+1)>0
f(x1)>f(x2)
∴f(x)在区间（－1，+∞）上是减函数.

综上

f(x)在（－∞，－1），（－1，+∞）两个区间上都是减函数

追问

我没有学过导数

对不起，不知道为什么只有右边有一个追问，右上角的好评没有了，所以不能给你好评了，真的很抱歉。还有，这题我看懂了，谢谢您的帮助

追答

那就画图吧。
观察图形同样可得：
f(x)在（－∞，－1），（－1，+∞）两个区间上都是减函数。见上图。

若函数的图象不好作，或作不出时。则可用求出对应导数f‘(x)，再分区间讨论的方法得单调递增、减区间。
如f(x)=(x+2)/(x+1)=1+1/(x+1)，
其导数f‘(x)= —1/（x+1)^2=0，
得区间（－∞，－1），（－1，+∞），
分区间（－∞，－1），（－1，+∞）
讨论f‘(x)的符号可得单调递减区间为（－∞，－1），（－1，+∞）。
该方法高三就会学到。

打字辛苦，望采纳

Answer 2

希望对你有帮助~！

追问

谢谢

追答

望采纳~！