Question

绝对值极限问题

绝对值极限问题：已知lim(x->0)f(x)=A,那么lim(x->0)|f(x)|=|A|吗？如果是，麻烦用极限定义进行证明，如果不成立也请给出反例，谢谢！

Answer 1

这个结论是正确的，证明的关键是利用绝对值不等式||a|-|b||≤|a-b|，证明如下：
由于lim(x->0)f(x)=A，根据函数极限的定义，可知对任意ε，存在δ使得当|x|<δ时，就有|f(x)-A|<ε，现在取相同的δ，由于||f(x)|-|A||≤|f(x)-A|<ε，所以lim(x->0)|f(x)|=|A|。

追问

||a|-|b||≤|a-b| 这个不等式如何证明呢

追答

由于-|a|≤a≤|a|，-|b|≤b≤|b|，所以-|a|-|b|≤a+b≤|a|+|b|，即|a+b|≤|a|+|b|，利用这个不等式，
|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|，即|a|-|b|≤|a-b|，同理|b|-|a|≤|b-a|=|a-b|，所以-|a-b|≤|a|-|b|≤|a-b|，即
||a|-|b||≤|a-b|。