Question

关于x的方程√（1-x²）=k（x-1）+2有两个不等的实根，求k范围

已知用圆心为（0，0），半径为1 的上半圆以及恒过（1，2）的方法来解决，求具体过程

Answer 1

√（1-x²）=k（x-1）+2

可以看成是y=√（1-x²）和y=k（x-1）+2的交点

y=√（1-x²）化成x²+y²=1是一个圆，又因为y=√（1-x²）≥0所以为上半圆

y=k（x-1）+2为恒过点A（1，2）的直线，易知点A在圆外

这两个图形有两个交点，固定半圆不懂，让直线饶定点旋转，可得到k的边界

则k的下边界（割线）很好求为1

关键求k的上边界（切线）

易知过点A（1,2）的直线系还有一条切线切点为（1,0）

设上边界的切点为（x,y）

易知（x,y）与（1,0）关于y=2x对称，很容易求出另一个切点为（-3/5,4/5）

k上边界为k=(1-4/5)/（0-（-3/5））=1/3

所以k∈（1/3,1）

追问

第二条斜率应该是（1-4/5）/（2+3/5）=3/4吧？还有过下边界应该可以取到所以是闭区间吧？

追答

对的，写得快了没注意