Question

已知函数f(x)是定义在(0,正无穷大)上的减函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/

已知函数f(x)是定义在(0,正无穷大)上的减函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1,则f(1)=0,如果f(2)+f(2-x)<2,则x取值范围为

Answer 1

1.f（1×1）=f（1）+f（1）即f（1）=2f（1）
∴移项得：f（1）=0
2. f（1/3）+f（1/3）=1+1=2=f（1/9）
f（x）+f（2-x）=f（x（2-x））=f（-x²+2x）
依题意得：x＞0 2-x＞0 ∴0＜x＜2
又函数f(X)在（0，正无穷）上是减函数
∴f（-x²+2x）＜f（1/9）
即：-x²+2x＞1/9
-9x²+18x-1＞0
9x²-18x+1＜0 判别式=b²-4ac=288
可得：（3-2√2）/3＜x＜（3+2√2）/3
又0＜x＜2
∴综上：x的取值范围是（（3-2√2）/3，（3+2√2）/3 ）