Question

已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数X都有xf（x+1）=（x+1）f（x

已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数X都有xf（x+1）=（x+1）f（x）,求f（f（2.5））的值。

Answer 1

解：
由于：xf(x+1)=(1+x)f(x)
则有：f(x+1)/f(x)=(1+x)/x
则令x=-1
则有：
-f(-1+1)=0
则：f(0)=0
又：f(x)是实数集R上的不恒为零的偶函数
则有：f(-x)=f(x)

由：f(x+1)/f(x)=(1+x)/x
令x=1.5,得f(5/2)=(5/3)f(3/2)
令x=0.5,得f(3/2)=3f(1/2)
令x=-0.5,得f(1/2)=-f(-1/2)
又:f(-x)=f(x)
则：f(1/2)=f(-1/2)
则：f(-1/2)=-f(-1/2)
故：f(-1/2)=0=f(1/2)
又：f(5/2)=(5/3)f(3/2)，f(3/2)=3f(1/2)
则；f(5/2)=0

Answer 2

令 x = 1.5 得：
1.5f(2.5) =2.5f(1.5)
所以f(2.5)= 5f(1.5)/3

令x = 0.5得：
0.5f(1.5)=1.5f(0.5)
所以f(1.5) = 3f(0.5)

令x = -0.5得：
-0.5f(0.5) = 0.5f(-0.5)
所以f(0.5) = -f(-0.5)

因为f(x)是偶函数
所以f(0.5) = f(-0.5)
所以f(0.5) = 0
所以f(1.5) = 0
所以f(2.5) = 0