Question

微分方程，请指出我解法的错误指出，并且写出正确的解法。

我要解的方程形如
y''+y=g(x)
我的方法有时候好用，可以得到特解，有时候不好用。我各举例一个。

第一个是好用的
y''+y=x^2
解法如下
D(f(x))=f'(x)
D^2(f(x))=f''(x)
(1+D^2)y=x^2
(1+iD)(1-iD)y=x^2
y=[1+(iD)+(iD)^2+(iD)^3+....][1+(-iD)+(-iD)^2+(-iD)^3+....]x^2
=[1+iD-D^2-iD^3+D^4....][1-iD-D^2+iD^3+D^4....]x^2
=[1-D^2+D^4....]x^2
=x^2-2

第二个是不好用的
D(f(x))=f'(x)
D^2(f(x))=f''(x)
(1+D^2)y=1/cosx
(1+iD)(1-iD)y=1/cosx
y=[1+(iD)+(iD)^2+(iD)^3+....][1+(-iD)+(-iD)^2+(-iD)^3+....](1/cosx)
=[1+iD-D^2-iD^3+D^4....][1-iD-D^2+iD^3+D^4....](1/cosx)
=[1-D^2+D^4....](1/cosx)

在mathmatica中输入如下指令：
sol = DSolve[y''[x] + y[x] == 1/Cos[x], y, x]
得到
{{y -> Function[{x},
C[1] Cos[x] + Cos[x] Log[Cos[x]] + x Sin[x] + C[2] Sin[x]]}}
所以就是
C[1] Cos[x] + Cos[x] Log[Cos[x]] + x Sin[x] + C[2] Sin[x]

[1-D^2+D^4....](1/cosx)好像是无穷级数。
我如果测试一下发现
f[x_] := 1/Cos[x]
算下前几项
Simplify [f[x] - f''[x] + f''''[x] - f''''''[x]]
＝1/8 (-2906 + 2655 Cos[2 x] - 198 Cos[4 x] + Cos[6 x]) Sec[x]^7

请问
1）是我无穷级数不会求成一个漂亮式子造成的？还是这个无穷级数就是错的？
2）这种方法为什么只能求特解？
3) 其他的方法是什么？

Answer 1

该方法的问题在于完全没考虑收敛性.

解出y的那一步没写清理由, 我理解是使用等式: (I+iD+(iD)²+(iD)³+...)(1-iD) = I.
如果是这样, 那直接写(I-D²+D⁴-D⁶+...)(1+D²) = I也是一样的.
我要指出的是, 这个等式是有问题的.
当a是一个数, 等式(1-a+a²-a³+...)(1+a) = 1在|a| ≥ 1时是没有意义的.
因为左端的严格意义是(1-a+a²-a³+...+(-a)ⁿ)(1+a) = 1-(-a)ⁿ⁺¹在n → ∞时的极限.
但当|a| > 1时, 这一极限不存在.
类似, 对n阶方阵A, 等式(E-A+A²-A³+...)(E+A) = E也需要条件║A║ < 1 (这里║·║表示矩阵范数).
微分算子D²可以粗略的类比为无穷维矩阵.
但是D²是一个无界算子, 不但不能成立║D²║ < 1, 连范数本身都是不存在的.
因此等式(I-D²+D⁴-D⁶+...)(1+D²) = I没有意义.

不过, 当g(x)为多项式时(如第一个例子), 当n充分大时成立D²ⁿg(x) = 0.
这可以保证(I-D²+D⁴-D⁶+...)g(x)收敛, 且(1+D²)(I-D²+D⁴-D⁶+...)g(x) = g(x).
这使得第一个例子能够成功得到特解.
但是对一般的g(x), (I-D²+D⁴-D⁶+...)g(x)未必收敛,
例如取g(x) = cos(x)就会得到cos(x)+cos(x)+cos(x)+....
对于第二个例子的g(x) = 1/cos(x), 也是发散的: 代入x = 0会得到1-1+5-61+1385-...

此外, 即便(I-D²+...)g(x)收敛, 也不能说明(I-D²+...)g(x)是所有解.
因为不能从等式(I+D²)y = g(x) = (I+D²)(I-D²+...)g(x)两边消去(1+D²).
这可以类比矩阵, 当A不可逆时, 不能由AB = AC得到B = C.
而I+D²就是不可逆的, 因为方程(1+D²)y = 0有非零解.
换句话说, 只能得到特解的原因就是不恰当的使用了消去律.

如果只是考虑方程y"+y = g(x), 其通解是可以写出来的: 设z = y'-iy, 则z'+iz = y"+y = g(x).
由一阶线性方程z'+iz = g(x)解出z, 再由y'-iy = z解出y即可.
不难看出, 想法就是基于(I+D²) = (I+iD)(I-iD).
可能更标准的方法是先求对应齐次方程的通解(特征方程法),
然后可用Wronsky行列式或者常数变易法写出特解.
了解详情建议去看专门的常微分方程教材.
简略的常数变易法推导可参考:http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation
#Nonhomogeneous_equation_with_constant_coefficients一节(英文比中文全).

追问

http://zhidao.baidu.com/question/423548837859356452.html?quesup2&oldq=1
这个你也帮助看下，谢谢！

追答

我看了那个问题, 但感觉没办法给出满意的答案, 就在这里写一点想法吧.
首先将数列推广为函数是非常随意的.
例如2^n不只能推广为2^x, 推广成2^x·cos(2kπx) (k为正整数)都是可以的,
这些函数是两两不同的, 所以有无穷多种推广的方法(其实上面的例子只是一小部分).
其实不难理解, 自然数集只是实数的一个子集,
由子集上的取值去决定全集上的取值, 没有其它条件是不行的.
与此相关的大概有两个方法: 拟合与插值.
二者都需要对函数的形式有事先的假定, 才能得到结果.
虽然二者都不太适用于推广数列(无穷多数据点), 但是应该能解释视觉这样的实际问题.

话说回来, 视觉的连续与离散大概无关于眼睛的个数, 而是感光细胞的个数.
可以类比数码相机的像素, 归根结底是离散的,
但是像素充分多的话, 感觉上是连续的, 因为细节被忽略了(或者插值平滑化了).
以上纯属个人猜测.

最后关于贪吃蛇与弧长, 与其说是连续到离散, 不如说是反过来.
因为曲线弧长难以把握, 所以人们使用折线来考虑, 再使分划加细来得到弧长.
也就是将连续的曲线离散化来研究.
至于弧长参数与曲率, 实在没看出联系在哪里.

Answer 2

如x=π/2, 3π/2,...(2n-1)π/2,cos(x)=0, 1/cox(x)->∞,第二个是不好用的.
其他的方法,谷歌搜索: matlab Mathworks ordinary differential equations
或教科书NumericalRecipes by William H, Press,Brian F. Flannery etc. Chapter on Integration of ordinary differential equations