Question

已知函数fx=x/(ax+b)(a,b为常数,且a不等于零)满足f2=1,fx=x有唯一解,求函数y=fx的解析式

我算出来是f(x)=2x/(x+2)，而老师在旁边写了：

x1=0,x2=(1-b)/a
x1=0为增根，则b=0,a=1
f(x)=x/x=1,x不等于0
请问这是什么意思，是说还要写上x的取值范围这意思么？

Answer 1

∵f(2)=1
∴1=2/(2a+b)，解得2a+b=2，∴b=2-2a
∴f(x)=x/(ax+2-2a)
∴方程是：x=x/(ax+2-2a)
去分母得到：x(ax+1-2a)=0
解得：x1=0 x2=(2a-1)/a
方程有唯一解的含义是：x1=x2
即：(2a-1)/a=0，解得a=1/2，∴b=2-2a=1
∴f(x)=2x/(x+2)

追问

用Δ＝0算出来也是这个解析式，想知道那一段话为什么要写

追答

因为f(x)=x是分式方程，变成一元二次方程后，可以△=0，只有1个根；也可以是△>0，但其中一个根是分式方程的增根，这时方程也只有1个根。
但是就本题而言，x1=0 x2=(2a-1)/a
若有增根，必为x=(2a-2)/a
由(2a-2)/a=0得，a=1；若(2a-2)/a=(2a-1)/a，不可能。
∴a=1也适合，此时b=2-2a=0。
故本题符合条件的a与b有两组，即a=1/2 b=1，或者a=1 b=0