Question

∞与+∞的区别，在高数极限处常见，不明白区别

Answer 1

1、一般口头上说的，或写出来的无穷大，infinity，确实如一楼所说：
无穷大包括正无穷大、负无穷大。

2、但是写成数学符号时，就不可以这样区别！
∞ = +∞，没有任何区别！∞ 只是 +∞ 而已，不包括 -∞。
道理很简单，就是我们习惯将正号省去，将+∞写成∞。
在这一点上，一楼的说法是很牵强附会的。但不是他的错，
我们确实有不少教师是这样强词夺理的。

在数学上 3 就是 3，不能包括 -3；4 就是 4，不能包括 -4。
+∞ 就是 ∞，绝对不包括 -∞，道理是一样的。

3、我们有些教师，就是喜欢在细微末节的基本概念上，另起炉灶，
误导视听，这样的例子比比皆是，触目惊心。楼主如果参加国际
考试，就知道，没有∞包括-∞的说法！为了保险起见，楼主以后
凡是+∞的地方，+ 号不要省去。以免遇上胡搅蛮缠的教师，白白
丢分。

4、至于无穷大的含义，就是一个越来越大的过程，这个过程永无止境，
没完没了的大下去，要多大有多大。它不是一个具体的很大的数，
而是一个大下去的过程。负无穷大，也是一个在绝对值上无限大下
去的过程，至于负号的意思，不一定是小下去，它很可能只是表示
一个方向。我们不能说 -1、-2、-3、-4、-5、-6、、、、都比 -∞ 大！
因为正负只是参考方向，具体的大小，要看具体的题意而定，譬如，
我们规定朝右为正方向，朝左为负方向。那能不能说，-1 牛顿的力，
比 -1000万牛顿的力大？当然不能，具体谁大谁小是要看物理效应
才能决定。至于数学轴排列的大小，纯粹属于数学游戏形式的比较，
只是在数轴的排列上才对，一旦针对具体的物理意义时，就难说了。

欢迎追问。

追问

这个问题我已明白，但你说的不对。也许你说的高中范围还有道理，但我是大学生。

追答

大学生、硕士生、博士生，无论什么层次，都是这样的。

1、语言叙述时，infinity，可以是正，可以是负；

2、用到符号时，∞只能表示正，不能表示负；

3、只有刚刚开始学微积分时，语言说到无穷大时，譬如：
【无穷大，我们用∞表示，具体区分，可以分为+∞，-∞】，这样的说法没有错。
【在具体使用时，例如极限、积分时，+∞可以简写成∞】，这样的说法也没有错。

4、国际的惯例，历来如此。个现代数学、现代科学的话语权、解释权、定义权，并
不是由我们决定的，是我们跟国际接轨，不是国际跟我们接轨。国内也只是一小
部分教师在胡搅。你可以到各专业网站查核，记住要查国际网站，不是我们自己
的那些百科网站，那些百科网站的水准最多只是一个普普通通大学生的水准，那
撰稿者，有很多只是在学学生，即使工作了，绝大多数的外文能力还是很原始，
这些文库的文章只是习作水平，练笔而已，不足为凭。

5、既然你已经是大学生，就更有独立思考的能力，不能迷信你的老师，不能迷信任
何教科书，也学5年至10年的时间之后，你就是国际一流大学的博士学位获得者，
你就有可能在国际一流大学当教授，届时你就可以带研究生，也许一下子就是博
导。这个结果，对高材生来说，是手到擒来的事情，10年后的你跟现在你的任何
一位教师、教授都是平等的，能接受的只有两点：一是国际惯例；二是国际公评。

6、如果你的学风绝对严谨，你以后可以在你著作中，具体表示正无穷大时，用+∞，
不用∞。如果这样，那是可歌可泣的事情。但是不能说∞是错的，至多只能说他们
不太严谨。举几个例子：我身边的洋人教授，有些严谨到了别人以为是迂腐的地步，
他们的x前的系数通通标出，即使1x的1也不省略，他们并没有批评别人的x是错的；
因子(factor)连乘时，既不用点，更不省略，而是用corss，也就是写出乘号×。我们
能说他们迂腐吗？国际上流行的系数(coefficient)为1时可以省略的惯例被废止了吗？
没有！国际上把正无穷大+∞简写成∞，现在不允许这样写了吗？同样没有！

限于篇幅，后面部分，请参见评论。

Answer 2

∞包含-∞和+∞，+∞是∞的子集