Question

求各位大神解答，谢谢

Answer 1

设x1,x2是定义域上是任意二个数，且x1>x2.
f(x1)=lg(x1+根号（x1的平方+1））
f(x2)=lg(x2+根号（x2的平方+1））
因为x1>x2，所以，（x1的平方+1）>（x2的平方+1）
所以，(x1+根号（x1的平方+1））>(x2+根号（x2的平方+1））,
(x1+根号（x1的平方+1））/(x2+根号（x2的平方+1））>1

f(x1)-f(x2)=lg(x1+根号（x1的平方+1））-lg(x2+根号（x2的平方+1））
=lg[(x1+根号（x1的平方+1））/(x2+根号（x2的平方+1））]

因为(x1+根号（x1的平方+1））/(x2+根号（x2的平方+1））>1
所以lg[(x1+根号（x1的平方+1））/(x2+根号（x2的平方+1））]>0
所以f(x1)-f(x2)>0
所以函数f(x)=lg(x+根号（x的平方+1））在其定义域上是单调增函数。

或者：
设x1<x2
g(x1)-g(x2)
=[x1+√(x1^2+1)]-[x2+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[√(x1^2+1)-√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+[(x1^2+1)-(x2^2+1)]/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2)+(x1-x2)(x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]+(x1+x2)}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
=(x1-x2){[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]
因为√(x1^2+1)>√x1^2=|x1|≥-x1，所以√(x1^2+1)+x1>0
同理，√(x2^2+1)+x2>0
所以[√(x1^2+1)+x1]+[√(x2^2+1)+x2]>0
又x1-x2<0，√(x1^2+1)+√(x2^2+1)>0
所以g(x1)-g(x2)<0
g(x1)<g(x2)，所以g(x)在定义域内是增函数
又h(x)=lgx也是增函数
所以复合函数f(x)=h[g(x)]也是增函数
即f(x)=lg[x+√（x^2+1)]为增函数.

追问

你是学数学的？还是学生？还是老师？

追答

学过数学。毕业好几年了。

追问

请问你多大了？

Answer 2

先求定义域。x+1≥0，x≥-1
x+√x+1＞0，√x+1＞-x，平方得x+1＞x²，x²＜x+1，x²-x＜1，（x-½）²＜5/4，-5/2＜x-½＜5/2，解得-2＜x＜3.
综上可得-1≤x﹤3。
y=√x+1定义域上增，y=x定义域上增，故y=x+√x+1定义域上增，记t=x+√x+1
由“复合函数同增异减”，且y=lgt在定义域上单调增，t=x+√x+1定义域上增。故y=lg（x+√x+1）在定义域[-1，3﹚上单调递增

大概过程是这样，写成解题过程要再规范一下

Answer 3

都是人才啊 忘记了